Kako pronaći derivat?

Problem pronalaženja derivata određene funkcijejedan je od glavnih predmeta u matematici u srednjoj školi i visokom obrazovanju. Nemoguće je potpuno istražiti funkciju, konstruirati njegov grafikon bez uzimanja derivata. Derivat funkcije lako se može naći poznavanjem osnovnih pravila diferencijacije, kao i tablice izvedenica osnovnih funkcija. Razmotrimo kako pronaći derivate neke funkcije.

Derivat funkcija se zove granica omjera funkcije prirasta na prirast argumenta, gdje je argument prirast teži nuli.

Prilično je teško shvatiti tu definiciju, budući dapojam granice nije potpuno proučavan u školi. No, kako bi pronašli derivate različitih funkcija, nije potrebno razumjeti definiciju, prepustiti stručnjacima matematičara i otići ravno u pronalaženje derivata.

Proces pronalaženja derivata naziva se diferencijacija. Kada se funkcija razlikuje, dobivamo novu funkciju.

Za njihove namjene koristit ćemo latinske slova f, g itd.

Postoji mnogo različitih oznaka za derivate. Koristit ćemo moždani udar. Na primjer, g "znači da ćemo naći derivat g.

Tablica izvedenica

Da bismo odgovorili na pitanje kako pronaćiderivat, potrebno je donijeti tablicu izvedenica osnovnih funkcija. Za izračunavanje derivata osnovnih funkcija, nije potrebno izvršiti složene izračune. Dovoljno je samo vidjeti svoju vrijednost u tablici izvedenica.

C "= 0
(sin x) "= cos x
(cos x) "= -sin x
(xⁿ) "= n x^n-1
(e^x) "= e^x
(ln x) "= 1 / x
(a^x) "= a^xU a
(dnevnik_a(x) "= 1 / x (a) u
(tg x) = 1 / cos²x
(ctg x) =-1/grijeh²x
(arcsin x) = 1/√ (1-x²)
(arccos x) =-1/√ (1-x²)
(arctg x) = 1 /(1 x²)
(arcctg x) = 1 /(1 x²)

Primjer 1. Pronaći derivacija funkcije y = 500.

Vidimo da je konstanta. tablica derivata, poznato je da je derivacija konstante je nula (Formula 1).

(500) = 0

Primjer 2. Pronaći derivacija funkcije y = x¹⁰⁰.

Moć funkcionirati u kojih 100 i pronaći svoj izvedenih funkcija, umnožiti lik i vraćanje na 1 (formula 3).

(x¹⁰⁰) "= 100 x⁹⁹

Primjer 3. Pronaći derivacija funkcije y = 5^x

Ovom eksponencijalne funkcije, izračunati njegov derivat formulom 4.

(5^x) = 5^xln5

Primjer 4. Pronaći derivacija funkcije y = log₄x

Derivat logaritam traži formulom 7.

(dnevnik₄(x) "= 1 / x u 4

Pravila diferencijacije

Neka nam sada objasniti kako pronaći derivacija funkcije, ako to nijeu tablici u nastavku. većina proučavanih značajki nisu elementarne, alikombinacija elementarnih funkcija pomoću najjednostavnije operacije (toga, oduzimanje, množenje, podjela i množenja na broj).Za pronalaženje njihovih derivata morate znati pravila diferencijacije. dalje, slova f i g prostor za djelovanje, a uz konstantno.

1. konstantan koeficijent može napraviti za znak derivacija

(F) "= f"

Primjer 5. Pronaći derivacija funkcije y = 6 * x⁸

Čine stalni koeficijent 6 i razlikovati samo x⁴. Ova je moć, derivat koji ćemo naći formulu izvedena tablica 3.

(6 * x⁸) = (x * 6⁸) "= 6 * 8 * x⁷= 48 * x⁷

2. derivacija je jednaka zbroju iznosa izvedeni

Zatim:

(f g) "= f" g "

Primjer 6. Pronaći derivacija funkcije y = x¹⁰⁰sin x

Funkcija predstavljaetsoboj zbroj dviju funkcija, derivati koje nalazimo u tablici.Od (x¹⁰⁰) "= 100 x⁹⁹ i (sin x) = cos (x) količinu izvedenih podataka iznos budetravna derivata:

(x¹⁰⁰sin x) = 100 x⁹⁹cos x

3. derivacija je jednaka razlici između razlika derivacija

(f-g) "= c"-g "

Primjer 7. Pronaći derivacija funkcije y = x¹⁰⁰ -cos x

Ova funkcija predstavljaetsoboj razlika dvije funkcije, derivati koje nalazimo i u tablici.Onda je derivat razlika jednaka razlici između izveden i ne zaboravite promijeniti znak, jer (cos x) =-sin x.

(x¹⁰⁰ -cos x) = 100 x⁹⁹ sin x

Primjer 8. Pronaći derivacija funkcije y = e^xTan x-x².

U ovu funkciju ima i iznos i razliku, pronaći izvedenica odSvaki pojam:

(e^x) "= e^x(tg x) = 1 / cos²x (x²) "= 2 x onda je derivat originalnog funkcija jednaka:

(e^xTan x-x²) = e^x1 / jer²x-2 x

4. izvedenih radova

(f * g) = f * g f * g "

Primjer 9. Pronaći derivacija funkcije y = cos x * e^x

Da biste to učinili, prvo pronaći derivat svaki množitelj (cos x) = sin x i ((e)^x) "= e^xSada zamijeniti sve formule djela. izvedena prva funkcija umnožiti u drugi i dodati dio prve funkcije puta derivacija druge.

(cos x * e^x) = e^xCOS x-e^x* grijeh x

5. derivacija privatni

Zatim:

(f/g) = c * g-f * g ' g²

Primjer 10. Pronaći derivacija funkcije y = x⁵⁰/ grijeh x

Pronaći derivat privatnog, prvo pronaći derivat brojnik i nazivnik odvojeno: (x⁵⁰) = 50 x⁴⁹ i (sin x) ' = cos x. Substituting u formulu za izvedene privatne:

(x⁵⁰/ grijeh x) "= 50 x⁴⁹* grijeh x-x⁵⁰x * cos / sin²x